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Règle du jeu : La Tour de Hanoï

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La Tour de Hanoï, présentation et règles du jeu.

La Tour de Hanoï est un grand classique dans l'univers des casse-têtes. Vous en avez certainement déjà croisé une ! Malgré les différentes variantes et formes existantes, le but reste le même : déplacer la Tour en un minimum de coups d'un point A à un point B. Mais pas si simple !

La Tour de Hanoï est un puzzle, ou jeu mathématique, inventée en 1883 par Édouard Lucas, arithméticien français né à Amiens, professeur à Saint-Louis, et connu notamment pour ses travaux sur la théorie des nombres et ses Récréations mathématiques . Il prouvera d'ailleurs sa passion pour les jeux mathématiques et de réflexion en commercialisant son casse-tête sous le nom de N. Claus de Siam , professeur au collège de Li-Sou-Stian et prétendument son ami. Mais pour les plus perspicaces d'entre vous, vous aurez compris que ce pseudonyme est en réalité l'anagramme de son nom ( Lucas d'Amiens ) et de la ville où il enseignait ( Saint-Louis ).

Les Tours de Hanoï sont également connues sous le nom de Tours de Lucas ( vous savez maintenant pourquoi ! ), ou Tours de Brahma. Brahma était le dieu créateur-démiurge de l'hindouisme, le premier membre de la Trimūrti, la trinité des déités hindoues majeures. Les autres membres sont Vishnou et Shiva.

La légende se passe au cœur du temple Kashi Vishwanath. Elle raconte que Brahma, au commencement des siècles, apporta dans ce temple, sous le dôme doré au centre du monde, 3 aiguilles de diamant, plantées dans une dalle de bronze, et 64 disques d'or pur, le plus large reposant sur l’airain, et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu’au sommet. C'est la Tour sacrée de Brahma.

Les règles de Brahma sont simples : les prêtres doivent déplacer la tour de la première à la troisième aiguille, en ne déplaçant qu'un disque à la fois. Le disque déplacé doit l'être sur l'une des 2 autres aiguilles, et ne doit jamais être placé au-dessus d’un disque plus petit que lui. Nuit et jour, les prêtres se succèdent sur les marches de l’autel, occupés à transporter la Tour de la première aiguille sur la troisième. Lorsque les prêtres auront terminé, la tour et le temple tomberont, et ce sera la fin des mondes !

Si nous étudions les algorithmes de résolution de la Tour, le nombre de mouvements nécessaires pour déplacer les 64 disques de la première à la troisième colonne est de 18.446.744.073.551.615. Si on considère que les prêtres mettent 1 seconde pour déplacer 1 disque, il faudra plus de 5 milliards de siècles ( 5.845.580.504 exactement ! ) pour terminer la Tour. La fin du monde est encore loin !

A travers cette légende, certains pensent que Lucas fait ici encore parler sa passion pour les jeux et la réflexion.

Pas d'anagramme cette fois, mais des similitudes troublantes entre le nom du temple « Kashi Vishwanath » et le nom de l'ex champion du monde d'échec indien Viswanathan Anand. Et que dire de sa version géante de la Tour de Hanoï avec ses 64 disques … 64 … qui correspond au nombre de cases d'un échiquier …

RÈGLE DU JEU

On dispose de 3 piquets fixés sur un socle, et d'un nombre n de disques de diamètres différents. Les disques sont empilés sur un piquet, en commençant du plus large au plus petit. Le nombre de disques peut varier. Plus il y a de disques au départ, plus le jeu est difficile.

Déplacer les disques d'une tour de 'départ' à une tour 'd'arrivée' en passant par une tour 'intermédiaire', et ceci en un minimum de coups.

2 règles simples :

- on ne déplace qu’un seul disque à la fois, et le disque déplacé doit l'être sur l’un des deux autres piquets au choix ; c’est ce que l’on appelle un déplacement.

- le disque déplacé ne doit jamais être placé au-dessus d’un disque plus petit que lui.

La solution générale est donnée par l'algorithme suivant.

Algorithme récursif

La solution de base du jeu de la Tour de Hanoï est formulée de manière récursive. Étiquetez les piquets avec A - B - C et numérotez les disques de 1 (le plus petit) à n (le plus grand). L'algorithme est exprimé comme suit:

1. Déplacez les n-1 premiers disques de A à B. (Cela laisse le disque n seul sur le piquet A) 2. Déplacez le disque n de A à C 3. Déplacez les n-1 disques de B à C

Pour déplacer n disques, il faut effectuer une opération élémentaire (déplacement d'un seul disque) et une opération complexe, c'est-à-dire le mouvement de n-1 disques. Cependant, cette opération se résout également de la même manière, en demandant comme opération complexe le déplacement de n-2 disques. En itérant ce raisonnement on réduit le processus complexe à un processus élémentaire, c’est-à-dire le déplacement de n-(n-1)=1 disque. C'est un algorithme récursif de complexité exponentielle.

Il est intéressant de noter que le casse-tête peut être résolu pour n'importe quel "n", avec une démonstration par récurrence: supposons que nous ayons une tour en A composée de N disques, et supposons que N soit le nombre de disques maximum autorisés à résoudre le jeu. Au terme du déplacement de la tour de A à B, nous ajoutons à A un disque supplémentaire, de taille égale à N+1, et supposons que ce disque ait été arrêt tout le temps sous les autres. À ce stade, nous déplaçons simplement le disque de A à C, et nous pourrons certainement déplacer la tour de B à C en suivant les mêmes étapes que celles qui étaient nécessaires pour le faire de A à B. Après avoir montré qu’une tour de N disques peut être déplacée d’une colonne à une autre, il est également montré qu’on peut déplacer une tour de N+1 disques.

Aspects psychologiques

Ce casse-tête est utilisé en particulier dans la recherche psychologique, à travers la résolution des problèmes. Il est également utilisé comme test neuropsychologique.

Ce test peut détecter les mauvais fonctionnements des zones frontale et préfrontale et permet d’évaluer les fonctions exécutives telles que la planification, le travail, la mémoire et l’inhibition. La résolution du jeu de la Tour de Hanoï dépend de l'activité inhibitrice, de la "mémoire de travail", c'est-à-dire l'utilisation de la mémoire à court terme, de la mémoire procédurale et de l'intelligence fluide. Ce test est similaire à celui de la Tour de Londres, ainsi qu'à celui des Tours de Toronto, utilisé avant tout pour évaluer les compétences de décision stratégique et résolution de problèmes chez les enfants de 4 à 13 ans et pour étudier les effets du vieillissement sur la résolution des problèmes simples.

Le casse-tête de la Tour de Hanoï est très joué en ligne, on peut trouver de nombreuses réalisations pour ce jeu, en Flash et en Java.

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Tours de Hanoï - Définition

Introduction.

Le problème des tours de Hanoï est un jeu de réflexion imaginé par le mathématicien français Édouard Lucas, et consistant à déplacer des disques de diamètres différents d'une tour de « départ » à une tour d'« arrivée » en passant par une tour « intermédiaire » et ceci en un minimum de coups, tout en respectant les règles suivantes :

• on ne peut déplacer plus d'un disque à la fois,
• on ne peut placer un disque que sur un autre disque plus grand que lui ou sur un emplacement vide .

On suppose que cette dernière règle est également respectée dans la configuration de départ.

Origine du problème

Le problème mathématique des tours de Hanoï a été inventé par Édouard Lucas. Il est publié dans le tome 3 de ses Récréations mathématiques , parues à titre posthume en 1892. Il annonce que ce problème est dû à un de ses amis, N. Claus de Siam , prétendument professeur au collège de Li-Sou-Stian (une double anagramme de Lucas d'Amiens , sa ville de naissance, et Saint Louis , le lycée où Lucas enseignait).

Sous le titre «  Les brahmes tombent  », Lucas relate que «  N. Claus de Siam a vu, dans ses voyages pour la publication des écrits de l'illustre Fer-Fer-Tam-Tam, dans le grand temple de Bénarès, au-dessous du dôme qui marque le centre du monde , trois aiguilles de diamant , plantées dans une dalle d'airain, hautes d'une coudée et grosses comme le corps d'une abeille . Sur une de ces aiguilles, Dieu enfila au commencement des siècles, 64 disques d'or pur, le plus large reposant sur l'airain, et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu'au sommet. C'est la tour sacrée du Brahmâ. Nuit et jour , les prêtres se succèdent sur les marches de l'autel, occupés à transporter la tour de la première aiguille sur la troisième, sans s'écarter des règles fixes que nous venons d'indiquer, et qui ont été imposées par Brahma. Quand tout sera fini, la tour et les brahmes tomberont, et ce sera la fin des mondes !  ».

Comme indiqué ci-dessous, un jeu à 64 disques requiert un minimum de 2 64 -1 déplacements. En admettant qu'il faille 1 seconde pour déplacer un disque, ce qui fait 86 400 déplacements par jour , la fin du jeu aurait lieu au bout d'environ 213 000 milliards de jours, ce qui équivaut à peu près à 584,5 milliards d'années, soit 43 fois l'âge estimé de l' univers (13,7 milliards d'années selon certaines sources).

Résolution récursive

Le problème des tours de Hanoï est vu en algorithmique (programmation), où il offre un exemple de la puissance et de la lisibilité des programmes définis de façon récursive (un autre exemple étant le tri arborescent). En effet, la méthode de résolution vue précédemment conduit à un algorithme récursif , décrit ci-dessous. Les paramètres de la procédure Déplacer sont :

On obtient par exemple :

En langage PHP

En langage Python  :

En langage Prolog  :

Recueil d'exercices pour apprendre Python au lycée

Tours de Hanoï

Difficulté : moyenne

Les tours de Hanoï est un casse-tête composé de trois tours et une pile de disques rangés du plus grand au plus petit comme sur la photo ci-dessous .

Le but est de déplacer la pile de disques sur la tour de droite en ne déplaçant à chaque fois qu'un seul disque et un disque ne peut pas être posé sur un disque plus petit. Voici une animation de ce qu'il faut faire dans le cas où il y a 4 disques.

On peut aller voir Wikipédia par exemple pour plus d'informations.

Nous allons voir qu'il est très simple de créer un programme récursif qui nous dit quoi faire pour résoudre le problème. Tout d'abord on appelle les tours A, B et C. On appelle n le nombre de disque présents au départ dans la tour A. Pour déplacer tous les disques de la tour A vers la tour C, on peut raisonner comme suit :

• On déplace n-1 disques de A vers la tour B
• On déplace le dernier disque de A vers C
• On déplace les n-1 disques de B vers C

L'astuce ici est de créer une fonction hanoi qui prend 4 paramètres : hanoi(n,debut,inter,fin) où n est le nombre de disques à déplacer, debut est la tour de départ de nos n disques, inter est la tour intermédiaire que l'on peut utiliser pour déplacer et fin est la tour ou doivent se trouver les n disques au final.

Ainsi, au début on va lancer hanoi(n,"A","B","C") mais quand on va vouloir déplacer les n-1 disques de A vers B, on écrira hanoi(n-1,"A","C","B") .

Ecrire cette fonction recursive hanoi(n,debut,inter,fin) de manière à afficher (avec print ) à chaque étape le déplacement à effectuer sous la forme "A B" pour un déplacement de la tour "A" vers la tour "B" par exemple.

Entrée : (n,"A","B","C") où n est un entier.

Sortie : Les instructions à suivre pour déplacer les n disques de la tour "A" à la tour "C" donnée sous la forme "A B" pour signifier un déplacement de A vers B et affiché avec print .

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Les tours de hanoï sont un casse-tête très ancien. Trois piquets sont plantés côte à côte sur le sol. Sur le premier piquet sont enfilés des disques de bois de différentes tailles, du plus grand au plus petit.

Voici une illustration d'un jeu de tours de Hanoï composé de 9 disques :

Le but du casse-tête est de déplacer l'ensemble de la pile de disques vers le troisième piquet. Un coup consiste à déplacer un disque du sommet d'un piquet vers le sommet d'un autre piquet, en respectant la règle suivante :

Un disque ne peut jamais être placé sur un disque plus petit que lui.

Illustration de l'état du jeu après quelques coups :

Limites de temps et de mémoire (Python)

• Temps : 1 s sur une machine à 1 GHz.
• Mémoire : 1 000 ko.

Contraintes

• 1 N N est le nombre de disques.

Vous devez lire un entier sur l'entrée standard : le nombre de disques se trouvant sur le piquet 1 au départ.

Vous devez écrire une ligne sur la sortie par déplacement permettant d'arriver à la solution finale (dans l'ordre où ils doivent être effectués).

Chaque déplacement est décrit par le numéro du piquet duquel un disque est retiré, le texte " -> ", puis le numéro du piquet sur lequel le disque est placé. Les piquets sont numérotés de 1 à 3.

Commentaires

Une fois que l'on a trouvé le principe, le casse-tête se résout toujours de la même manière, assez simplement. Si vous ne trouvez pas, demandez les conseils automatiques avant d'essayer de programmer une solution compliquée.

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Hinz, A. (1989). "The Tower of Hanoi". L'Enseignement Mathématique. 35: 289–321. doi:10.5169/seals-57378.

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Tower of Hanoi

Description: The Tower of Hanoi (also referred to as the Tower of Brahma) was invented by the French mathematician Edouard Lucas in 1883. He was inspired by a legend that tells of a Hindu temple where the pyramid puzzle was used for the mental discipline of young priests. [ More about the legend here ]

The objective of the game is to move a stack of disks from the left-most pole to the right-most in the least amount of moves, the catch being a smaller disk must always be stacked on top of a larger, and never the other way around. Depending on the number of disks, this can become very challenging. Interesting features of this script are:

• Powerful drag-and-drop interface.
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Demo: Click here to view script.

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Les tours de Hanoï

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Jeu de casse-tête en ligne

Publié le 14 Septembre 2006 - Joué 10 474 fois.

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Le 15 Septembre 2011

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chris-sem/tours_de_hanoi

Folders and files, repository files navigation, tours_de_hanoi.

Le jeu Tours de Hanoi est un jeu de réflexion imaginé par un mathématicien français et consistant à déplacer des disques de diamètres différents d'une tour de « départ » à une tour d'« arrivée » en passant par une tour « intermédiaire », tout en respectant les règles suivantes :

• on ne peut déplacer plus d'un disque à la fois
• on ne peut placer un disque que sur un autre disque plus grand que lui ou sur un emplacement vide.

On suppose que cette dernière règle est également respectée dans la configuration de départ.

• Python 100.0%

• The towers of Hanoi problem is a puzzle game invented by the French mathematician Edouard Lucas, and of moving disks of different diameters of a tower of 'departure' a tower of "arrival" through a tower " intermediate "and this in a minimum number of moves, while respecting the following rules: - can not move more than one disk at a time - you can not put a disk on another disk bigger than him or a empty slot.
• booble shooter - cut rope - chess titans - girls - gta vice city - kids - igi - cricket - lego batman kids - zoo tycoon - gta punjab
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Jouez au jeu Tour de Hanoi Sort pour entraîner votre cerveau et relever des niveaux plus élevés ![Comment jouer]- Touchez légèrement un disque pour le déplacer sur un autre bâton.- Seul le disque supérieur peut être déplacé.- Un disque peut uniquement être déplacé s'il correspond à la couleur du disque supérieur.- Un disque peut être déplacé s'il est plus grand que le disque supérieur sur lequel il est déplacé.- Un disque peut être déplacé s'il y a suffisamment d'espace sur le bâton.- Un disque de n'importe quelle taille peut être déplacé vers un bâton vide.- Réussir à empiler toutes les tours du disque le plus grand en bas au plus petit en haut dans l'ordre constitue un succès.- Le ? peut être trouvé en déplaçant les disques au-dessus.- Si vous êtes bloqué, vous pouvez redémarrer l'étape à tout moment.[Caractéristiques]- Contrôle avec un seul doigt.- Pas de limite de temps, jouez n'importe quand, n'importe où.- Facile à apprécier pour tout le monde.- Changez librement les disques, les couvercles et l'arrière-plan.- Utilisez des objets pour réussir plus facilement !- Concurrencez avec d'autres utilisateurs, augmentez votre classement et recevez des récompenses supplémentaires.- Fonction d'auto-complétion pour une progression pratique.- Les quêtes quotidiennes offrent des modes de mouvement, de temps, caché et des récompenses en or.- Le mode compétition infinie vous permet de concurrencer avec les utilisateurs pour des records.Homepage :https://play.google.com/store/apps/dev?id=4864673505117639552Facebook : https://www.facebook.com/mobirixplayenYouTube :https://www.youtube.com/user/mobirix1Help : [email protected]

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Tour de Hanoi Sort

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Jouez au jeu Tour de Hanoi Sort pour entraîner votre cerveau et relever des niveaux plus élevés ![Comment jouer]- Touchez légèrement un disque pour le déplacer sur un autre bâton.- Seul le disque supérieur peut être déplacé.- Un disque peut uniquement être déplacé s'il correspond à la couleur du disque supérieur.- Un disque peut être déplacé s'il est plus grand que le disque supérieur sur lequel il est déplacé.- Un disque peut être déplacé s'il y a suffisamment d'espace sur le bâton.- Un disque de n'importe quelle taille peut être déplacé vers un bâton vide.- Réussir à empiler toutes les tours du disque le plus grand en bas au plus petit en haut dans l'ordre constitue un succès.- Le ? peut être trouvé en déplaçant les disques au-dessus.- Si vous êtes bloqué, vous pouvez redémarrer l'étape à tout moment.[Caractéristiques]- Contrôle avec un seul doigt.- Pas de limite de temps, jouez n'importe quand, n'importe où.- Facile à apprécier pour tout le monde.- Changez librement les disques, les couvercles et l'arrière-plan.- Utilisez des objets pour réussir plus facilement !- Concurrencez avec d'autres utilisateurs, augmentez votre classement et recevez des récompenses supplémentaires.- Fonction d'auto-complétion pour une progression pratique.- Les quêtes quotidiennes offrent des modes de mouvement, de temps, caché et des récompenses en or.- Le mode compétition infinie vous permet de concurrencer avec les utilisateurs pour des records.Homepage :https://play.google.com/store/apps/dev?id=4864673505117639552Facebook : https://www.facebook.com/mobirixplayenYouTube :https://www.youtube.com/user/mobirix1Help : [email protected]

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